数列
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求数列的通项公式
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【例1】 已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋＝2Sn，求an.
[解] 将an＋＝2Sn变形为a＋1＝2Snan.
将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得S－S＝1.
由已知可求得S1＝a1＝1.
∴数列{S}是等差数列，公差为1，首项为1.
∴S＝1＋(n－1)·1＝n.
∵an>0，∴Sn>0.
∴Sn＝.
∴n≥2时，an＝－.
而n＝1时，a1＝1也适合上式．
∴数列{an}的通项公式为an＝－，n∈N＋.
1．定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
2．已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
3．由递推公式求数列通项法
(1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.
(2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用
为等差数列求an.
(3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.
(4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.
1．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1－an＝3n－n，
得an－an－1＝3n－1－(n－1)，
an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，
…
a3－a2＝32－2，
a2－a1＝3－1.
当n≥2时，以上n－1个等式两边分别相加，得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)
＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，
即an－a1＝－.
又∵a1＝1，
∴an＝×3n－－.
显然a1＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝×3n－－.
