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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解等差中项的概念．(重点)
2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)
3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
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1.借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养．
2．通过等差数列性质的学习，培养数学运算的素养.
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高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
1．等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝.
在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．
思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？
[提示] 是．
2．等差数列的性质
{an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
思考2：在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？
[提示] 令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(2)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9. ( )
(2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，a4，…是等差数列． ( )
(3)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． ( )
(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝( )
A．－1 B．9 C．1 D．6
B [由题意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故选B.]
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16 C．20 D．24
B [在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.]
4．17＋，13－的等差中项为________．
15 [设A为其等差中项，则A＝＝＝15.]
