4.3 统计模型
4.3.1 一元线性回归模型
第1课时 相关关系与回归直线方程
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1．了解变量间的相关关系．(易混点)
2．会根据散点图判断数据是否具有相关关系．(重点)
3．了解最小二乘法的思想，会求回归直线方程，掌握回归方程的性质．(重点、难点)
|
1．通过回归直线方程及相关关系的学习，体会数学建模与直观想象的素养．
2．借助回归直线方程的求法，培养数学运算的素养.
|
你知道“名师出高徒”的意思吗？——高明的师傅一定能教出技艺高的徒弟，比喻学识丰富的人对于培养人才的重要．也就是说，高水平的老师往往能教出高水平的学生．
问题：那么老师的水平与学生的水平之间具有怎样的关系呢？这种关系是确定的吗？该关系与函数关系相同吗？
1．相关关系
如果两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性，像这样两个变量之间的关系，统计学上都称为相关关系．
思考1：函数关系是相关关系吗？
[提示] 不是．函数关系中两个变量之间是一种确定关系．
2．线性相关
(1)散点图
一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示．
|
序号i
|
1
|
2
|
3
|
…
|
n
|
|
变量x
|
x1
|
x2
|
x3
|
…
|
xn
|
|
变量y
|
y1
|
y2
|
y3
|
…
|
yn
|
则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图．
(2)线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．
(3)正相关和负相关
若x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．
3．回归直线方程
(1)一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a，
如果一次函数＝x＋能使
y,\s\up6(^y,\s\up6(^
取得最小值，则＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)．因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法．
其中，回归系数＝∑,\s\up8(ni＝1＝∑,\s\up8(ni＝1，
＝－.
＝(x1＋x2＋…＋xn)＝ni＝1xi；
＝(y1＋y2＋…＋yn)＝ni＝1yi.
4．回归直线方程：＝x＋的性质
(1)回归直线一定过点(，)．
(2)回归系数的实际意义
①是回归方程的斜率；
②当x增大一个单位时，增大个单位．
思考2：y与x正负相关的充要条件分别是什么？
