4.1.2 乘法公式与全概率公式
第1课时 乘法公式
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．掌握乘法公式及其推广．(重点)
2．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率．(难点)
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1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养．
2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养.
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小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个．
问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？
乘法公式及其推广
(1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0.
(2)乘法公式的推广：
设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，
则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．
其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率．
思考：P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？
[提示] P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)P(AB)＝P(BA)． ( )
(2)P(AB)＝P(A)P(B)． ( )
(3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
C [P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C.]
3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )
A. B.
C. D.
A [记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.]
4．若P(B|A)＝，则P(|A)＝________.
[P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝.]
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乘法公式及其应用
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【例1】 一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率．
[解] 设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”. 由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，
于是根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.
