课时作业4 简单计数问题
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是( D )
A．54 B．45
C．5×4×3×2 D．5
解析：由题意知，只有一个人没有票，故共有5种不同的分法．
2．某次数学测验中学号为i(i＝1,2,3,4)的4名同学的考试成绩f(i)∈{86,87,88,89,90}且满足f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)，则此4名同学的成绩的可能情况有( C )
A．5种 B．120种 C．15种 D．10种
解析：当f(2)≠f(3)时，从五个数中任选四个从小到大排列对应学号为i(i＝1,2,3,4)的4名同学的考试成绩，共有C＝5种方法；当f(2)＝f(3)时，从五个数中任选三个组成4名同学的考试成绩，共有C＝10种方法，故共有10＋5＝15种方法．
3．将4个不同的小球全部放入A，B两个盒子中，每个盒子至少放1个小球，求不同的放置方法的种数．甲列式子：CC×22；乙列式子：C＋C＋C；丙列式子：24－1；丁列式子：CAA.其中列式正确的是( B )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：第一类：1个放A盒，3个放B盒，有C种放置方法．
第二类：2个放A盒，2个放B盒，有C种放置方法．
第三类：3个放A盒，1个放B盒，有C种放置方法．
根据加法原理，共有C＋C＋C种不同的放置方法，所以乙列式正确．
4．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( C )
A．72 B．96 C．108 D．144
解析：分两类：若1与3相邻，有A·CAA＝72(个)，
若1与3不相邻有A·A＝36(个)
故共有72＋36＝108(个)．
5．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数是( B )
A．480 B．240 C．120 D．96
解析：从5本书中任取两本有C种取法，这两本为一堆，另外三本当成三堆，共四堆有四个学生拿，方法有A种，
∴分法有CA＝240(种)．
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( B )
A．152 B．126 C．90 D．54
解析：先安排司机：若司机有一人，则共有CCA＝108(种)方法，若司机有两人，此时共有CA＝18(种)方法，故共有126种不同的安排方案．
7．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( B )
A．48种 B．36种 C．24种 D．18种
解析：本题是考查排列组合及相关分类的问题．
①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A＝24(种)．
②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2CC＝12(种)．
∴4位同学得总分为0分的不同情况有24＋12＝36(种)．故选B.
8.如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有( C )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
解析：如图，构造三棱锥A－BCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，
