学习目标:1.了解算术平均,几何平均,调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用,了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题.
教材整理 平均值不等式
1.(平均值不等式)设a1,a2,…,an为n个正数,则≥,等号成立⇔a1=a2=…=an.
(推论1)设a1,a2,…,an为n个正数,且a1a2…an=1,则a1+a2+…+an≥n,且等号成立⇔a1=a2=…=an=1.
当n=3时,这个结论的几何解释是:如果一个长方体的体积为1,则当它是正方体时,其棱长之和最小.
(推论2)设C为常数,且a1,a2,…,an为n个正数,则当a1+a2+…+an=nC时,a1a2…an≤Cn,且等号成立⇔a1=a2=…=an.
当n=3时,这个定理的一个几何解释是:所有棱长之和相同的长方体中,正方体有最大的体积.
2.任意给定n个正数,先求它们倒数的平均
,然后再作这个平均值的倒数
,称其为a1,a2,…,an的调和平均.
(定理2)设a1,a2,…,an为n个正数,则≥,等