1.(2018·商丘期末)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)时,从“k到k+1”左边需增加的代数式是 (k+1)(k+2)…(k+k)(4k+1) .
解析:从“k到k+1”左边需增加的代数式是:(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)-(k+1)·(k+2)·…·(k+k)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)·[(k+1+k)(k+1+k+1)-(k+1)]=(k+1)(k+2)·…·(k+k)(4k+1).
2.(2018·杭州期末)设正项数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an·an+1(n∈N*).
(1)求a2,a3以及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2-an,数列{bn}的前n项和为Tn.
①求Tn;
②证明:++…+≤2Tn(n∈N*).
解析:(1)∵a1=1,2Sn=an·an+1,∴2a1=a1·a2,
即a2=2,∴2(a1+a2)=a2·a3,即a3=3.
猜想an=n,
证明如下:①当n=1时,显然成立,
②假设当n=k时成立,即ak=k,则Sk=.
那么当n=k+1时,ak+1===k+1,
故n=k+1时也成立,由①②可得an=n对于n∈N*都成立,∴数列{an}的通项公式为an=n.
(2)易知bn=n,
①Tn==1-.
②由(1)可知Sn=,
∴==2,