1．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．
解析 (1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AE.因为AC∩AE＝A，所以BD⊥平面ACFE.
(2)以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a>0)，＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝＝＝.因为a>0，所以解得a＝3.所以＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，所以cos〈，〉＝＝＝.故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.
2．(2019·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.
(1)求证：平面PBAD⊥平面COD；
(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值．
