1.椭圆的定义
平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.两定点F1,F2叫做椭圆的焦点.
集合P={M|MF1+MF2=2a},F1F2=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)当2a>F1F2时,P点的轨迹是椭圆;
(2)当2a=F1F2时,P点的轨迹是线段;
(3)当2a<F1F2时,P点不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
|
+=1(a>b>0)
|
+=1(a>b>0)
|
图形
|
|
性质
|
范围
|
x∈[-a,a],y∈[-b,b]
|
x∈[-b,b],y∈[-a,a]
|
对称性
|
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
|
顶点
|
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
|
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
|
离心率
|
e=,且e∈(0,1)
|
a,b,c的关系
|
c2=a2-b2
|
[小题体验]
1.已知椭圆+=1的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为________.
答案:12
2.已知直线x-2y+2=0过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点和一个顶点,则椭圆的方程为________.
解析:直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.
直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的顶点,故b=1,所以a2=b2+c2=5,故椭圆的方程为+y2=1.