【选题明细表】
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知识点、方法
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题号
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定点问题
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4
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定值问题
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2,3,5
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存在性问题
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1,6,7
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1.(2018·辽宁省辽南协作校一模)已知抛物线C:y=2x2,直线l:y=kx+ 2交C于A,B两点,M是AB的中点,过M作x轴的垂线交C于N点.
(1)证明:抛物线C在N点处的切线与AB平行;
(2)是否存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0.
所以x1+x2=,xN=xM=,所以N(,).
因为(2x2)'=4x,所以抛物线在N点处的切线斜率为k,故该切线与AB平行.
(2)解:假设存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点,则|MN|=|AB|.
由(1)知yM=(y1+y2)=(kx1+kx2+4)=+2,又因为MN垂直于x轴,
所以|MN|=yM-yN=,
而|AB|=|x1-x2|·=·.
