1.(2018·郑州一检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求·的最大值．
解：(1)由题意知＝c，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以e＝＝.
(2)因为△PQF2的周长为4，所以4a＝4，得a＝，
由(1)知b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为
x＝－1，P，Q，＝，＝，故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
由消去y并整理得
(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1
＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1
