4．设函数f(x)＝ex－(e为自然对数的底数)，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a的最小值为________．
解析：原问题等价于存在x∈(0，＋∞)，使得a≥ex(x2－3x＋3)，令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，x∈(0，＋∞)，则a≥g(x)min.而g′(x)＝ex(x2－x)，由g′(x)＞0可得 x∈(1，＋∞)，由g′(x)＜0可得x∈(0,1)，∴函数g(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为g(1)＝e.综上可得，实数a的最小值为e.
答案：e
5．(2018·武汉质检)已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)＝xln x的定义域是(0，＋∞)，
∴f′(x)＝ln x＋1.
令f′(x)＜0，得ln x＋1＜0，解得0＜x＜，
∴f(x)的单调递减区间是.
令f′(x)＞0，得ln x＋1＞0，解得x＞，
∴f(x)的单调递增区间是.
综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1,2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，∴2xln x≤3x2＋2ax＋1恒成立．∵x＞0，∴a≥ln x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．设h(x)＝ln x－x－(x＞0)，则h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍去)．
