1．设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增．
∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.
(2)方程f(x)＝0恰好有两个实数根，等价于直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3.令y′＞0，解得x＞1或x＜－1；令y′＜0，解得－1＜x＜1.
∴y＝x3－3x在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2；当x＝1时，y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图所示．
y＝a表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当a＝2或a＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个交点．
故当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．
2．(2019·锦州联考)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由f(x)＝ex＋ax－a，得f′(x)＝ex＋a.∵函数f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1.∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．易知f(x)在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)＞f(1)，
∴f(x)在[－2,1]上的最大值是＋3.
