22．（本题满分15分）已知函数 ．
（Ⅰ）若 为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当 时,求函数 的最大值；
（Ⅲ）当 ,且 时，证明: ．
解: （Ⅰ） ,
∴ ---------2分
若f（x）在 上是增函数,则 ,即 在 恒成立,
而 ,故m≥0;-----------------------------------------2分
若f（x）在 上是减函数,则 ,即 在 恒成立,
而 ,故这样的m不存在．------------------------------1分
经检验,当m≥0时, 对 恒成立,
∴当m≥0时，f（x）在定义域上是单调增函数．---------------------1分
（Ⅱ）当m =－1时, ,则 ----------1分
当 时, ,此时f（x）为增函数,
当 时, ,此时f（x）为减函数----------------------------2分
∴ 在x = 0时取得最大值,最大值为 ----------------------1分
（Ⅲ）当m = 1时,令 , --1分
在[0,1]上总有 ,即 在[0,1]上递增------------------------------1分
∴当 时, ,即 ----1分
令 ,由（Ⅱ）知它在[0,1]上递减,所以当 时, ,即 -----------------1分
综上所述,当m = 1,且 时, ---------------1分
