1．(导学号14577225)(2018·银川市模拟)设f(x)＝xln x＋ax2，a为常数．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线过点A(0，－2)，求实数a的值；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2且x1＜x2
①求证：－＜a＜0
②求证：f (x2)＞f (x1)＞－.
解：(1)f(x)＝xln x＋ax2的导数为f′(x)＝ln x＋1＋2ax，
在x＝1处的切线斜率为k＝1＋2a，切点为(1，a)，
在x＝1处的切线过点A(0，－2)，则k＝1＋2a＝a＋2，
解得a＝1；
(2)证明：①由题意可得f′(x)＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，
设g(x)＝ln x＋1＋2ax，g′(x)＝＋2a，x＞0.
当a≥0，则g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)递增，不合题意；
当a＜0时，g′(x)＞0解得x＜－，g′(x)＜0解得x＞－，
即有g(x)在递增，在递减．
即有g＝ln＞0，解得－＜a＜0；
②由上可知，f(x)在(x1，x2)递增，即有f(x2)＞f(x1)，
f′(1)＝g(1)＝1＋2a＞0，则x1∈(0,1)，由①可得ax1＝，
即有f(x1)＝x1ln x1＋ax＝(x1ln x1－x1)，
设h(x)＝(xln x－x)，0＜x＜1，
h′(x)＝ ln x＜0在(0,1)恒成立，
故h(x)在(0,1)递减，故h(x)＞h(1)＝－，
