数学方法在物理学中的应用（二）
四、导数微元法
利用微分思想的分析方法称为微元法。它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分,再从中抽取某一微小单元进行讨论,从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法。
利用微元法的解题思路可概括为选取“微元”,将瞬时变化问题转化为平均变化问题,避开直接求瞬时变化问题的困难;再利用数学“微积分”知识,将平均变化问题转化为瞬时变化问题,既完成求解问题的“转化”又能保证所求问题性质不变且求解更简单。即采取了从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法。
具体可分以下三个步骤进行:①选取微元;②视微元为恒定,运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式;③在微元表达式的定义域内施以叠加演算,进而求得待求量。
【典例6】 如图所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计,导轨所在平面的倾角为α,条形匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成图示装置,总质量为m,置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生,图中未画出)。线框的边长为d(d<l),电阻为R,下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放,导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回,导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求:
