江苏省板浦高级中学2009-2010学年度第二学期
高二年级期末测试数学试题（理）2010.07
一、填空题：（本大题共16题，每小题5分，共80分。请把答案填在答题纸相应位置上）
1. 设 为虚数单位，则 =__________.
2. 已知随机变量X的分布列为 则 _______.
3．利用数学归纳法证明“ ”时，
从“ ”变到“ ”时，左边应增乘的因式是____________.
4. 在极坐标系中，直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离 .
5. 若 ，则 的值为 .
6. 已知 的三个顶点坐标为 ，则 在矩阵 作用下得到的图形面积为 .
7. 上海世博局将10个自愿者的名额分配给不同的四个大学，要求一个大学1个名额，一个大学2
个名额，一个大学3个名额，一个大学4个名额，则不同的分配方案种数为 .
8. 已知 ,则 = .
9. 随机变量 的分布列如下：
其中 成等差数列，若 ，则 的值是 .
10．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 ，
则在这段时间内吊灯能照明的概率是_____________________.
11.矩阵 的逆矩阵为 .
12. 若 ，则 __________________．
13．满足 的最小整数 =____________;
14. 曲线的参数方程为 ，则它对应的普通方程为
15. 已知 ，则 =________________;
16. 已知 ，由不等式 ， ， ，……，
启发我们得到推广结论： ，则 ___________ ;
二、解答题：（本大题共8个大题，17、18、19、20每题14分，21、22、23、24每题16分共120分。请在答题纸指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 对于复数 , , ( )
(1) 若 是纯虚数,求 的值；
(2) 若 在复平面内对应的点位于第四象限,求m的取值范围；
(3) 若 都是虚数,且 ,求 .
18.已知矩阵 , 求矩阵 的特征值及对应的一个特征向量及 .
19．已知二项式 （n∈N* , n≥2）的展开式中前三项的系数成等差数列．
（１）求正整数 的值；
（２）求展开式中 项的系数.
20. 已知直线 经过点 ，倾斜角是 ；在极坐标系下圆M的圆心坐标为 ，
半径为4.
（1）写出直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（2）判断直线与圆的位置关系，若相交求出弦长；若不相交求出圆上的点到直线的最近距离。
21. 有3名老师和4名同学站成一排拍照留念.
（1）其中甲老师必须站在正中间,且乙、丙两位同学要站在一起,有多少种不同站法?
（2）甲、乙、丙必须排在一起, 有多少种不同站法?
（3）甲、乙、丙都不相邻,有多少种不同站法?
（4）甲、乙、丙三人顺序一定,有多少种不同站法?
22.已知曲线 ，若按向量 作平移变换得曲线 ；若将曲线 按伸缩系数 向着 轴作伸缩变换，再按伸缩系数3向着 轴作伸缩变换得到曲线
（1）求曲线 及 方程；
（2）若 为 上一点， 为 上任意一点，且 与曲线 相切（ 为切点），
求线段 的最大值及对应的 点坐标.
23. 上海世博会为选拔自愿者采用知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲回答每个问题的正确率相同，并且答题相互之间没有影响，且连续两次答错的概率为 .
(1)求选手甲回答一个问题的正确率；
(2)求选手甲进入决赛的概率；
(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.
24.已知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.高考资源网
（1）求和：① ；高考资源
网 ② ；高考资
源网 ③ ；高考资源网
（2）根据（1）求得的结果，试归纳出关于正整数 的一个结论（不需证明）；高考资源网
(3)设 是等比数列 的前 项和.
求：
江苏省板浦高级中学2009-2010学年度第二学期
高二年级期末测试数学试题（理）参考答案2010.07
一、填空题：（本大题共16题，每小题5分，共80分。请把答案填在答题纸相应位置上）
1. 设 为虚数单位，则 =________________;
2. 已知随机变量X的分布列为 则 ____.
3．利用数学归纳法证明“ ”时，
从“ ”变到“ ”时，左边应增乘的因式是_________________;
4. 在极坐标系中，直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离__ _;
5. 若 ，
则 的值为 _；1
6. 已知 的三个顶点坐标为 ，则 在矩阵 作用下得到的图形面积为 ；1
7. 上海世博局将10个自愿者的名额分配给不同的四个大学，要求一个大学1个名额，一个大学2个名额，一个大学3个名额，一个大学4个名额，则不同的分配方案种数为 ;24
8. 已知 ,则 = ；1
9. 随机变量 的分布列如下：
其中 成等差数列，若 ，则 的值是 ;
10．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 ，
则在这段时间内吊灯能照明的概率是_____________________;
11.矩阵 的逆矩阵为 ；
12. 若 ，则 __________________．3或5
13．满足 的最小整数 =_
