1.(2015·新课标全国Ⅱ,15)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为______________.
解析 由双曲线渐近线方程为y=±x,可设该双曲线的标准方程为-y2=λ(λ≠0),已知该双曲线过点(4,),所以-()2=λ,即λ=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
答案 -y2=1
2.(2015·新课标全国Ⅰ,16)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.
解析 设左焦点为F1,|PF|-|PF1|=2a=2,
∴|PF|=2+|PF1|,△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF周长最小即为|AP|+|PF1|最小,当A、P、F1在一条直线时最小,过AF1的直线方程为+=1.与x2-=1联立,解得P点坐标为(-2,2),此时S=S△AF1F-S△F1PF=12.