1．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；
(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.
证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.
因为a，b都是正数，
所以a＋b>0.
又因为a≠b，所以(a－b)2>0.
于是(a＋b)(a－b)2>0，
即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
所以a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，
所以a2(b2＋c2)≥2a2bc. ①
同理b2(a2＋c2)≥2ab2c， ②
c2(a2＋b2)≥2abc2.
①②③相加得
2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，
从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
由a，b，c都是正数，
得a＋b＋c>0，
因此≥abc.
