1.已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax(a∈R).若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围.
解 法一 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝ln x＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a.
∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥0，
即＋2x＋a≥0对x∈(0，＋∞)都成立.
∴－a≤＋2x对x∈(0，＋∞)都成立.
∵当x＞0时，＋2x≥2＝2，当且仅当＝2x，即x＝时取等号.
∴－a≤2，即a≥－2.∴a的取值范围为[－2，＋∞).
法二 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ln x＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a＝.方程2x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ≤0，即－2≤a≤2时，2x2＋ax＋1≥0，此时，f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)都成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数.
②当Δ＞0，即a＜－2或a＞2时，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，只需2x2＋ax＋1≥0对x∈(0，＋∞)都成立.
