1.(2014·安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3F1B.
(1)若AB＝4，△ABF2的周长为16，求AF2；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率.
解 (1)由AF1＝3F1B，AB＝4，
得AF1＝3，F1B＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，AF1＋AF2＝2a＝8.故AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.
(2)设F1B＝k，则k＞0且AF1＝3k，AB＝4k.由椭圆定义可得，AF2＝2a－3k，BF2＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得，
AB2＝AF＋BF－2AF2·BF2cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k).
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有AF2＝3k＝AF1，BF2＝5k.
因此BF＝F2A2＋AB2，
可得F1A⊥F2A，
△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
